卓克：这两枚奖有多重？讲清中国首获菲尔兹奖


7月23日，两个中国人的名字，第一次同时出现在菲尔兹奖的获奖名单上。

王虹、邓煜双双获奖，也让中国籍数学家第一次拿到这项被称为“数学界诺贝尔奖”的顶级荣誉。但看完各种报道，很多人可能只留下一个印象：很厉害。至于他们究竟解决了什么问题，为什么能得到数学界的最高认可，仍然很难说清楚。

其实，可以先从两个并不陌生的问题进入。王虹研究的是：一个集合明明可以小到几乎不占体积，为什么仍然必须拥有完整的三维结构？邓煜研究的是：无数粒子都只按照简单的牛顿定律运动，为什么汇集起来之后，却能表现为可以计算的气体和流体规律？

问题听起来朴素，真正证明起来，却困扰了数学家几十年甚至上百年。

下面，我们请得到App《科技参考》主理人卓克老师，来讲清楚这两项代表性成果究竟解决了什么，以及它们为什么如此重要。
作者：卓克
来源：节选自得到App《科技参考5》
01

挂谷猜想：从二维到三维

中国人得过几次菲尔兹奖？这个问题要看怎么定义了。假如限定获奖时必须得是中国国籍，那就是2人，就是2026年这一次获奖的王虹与邓煜。
如果中国人的定义扩大到华人血统的话，还可以加上陶哲轩、丘成桐。
丘成桐、陶哲轩分别在1982年和2006年获得菲尔兹奖。而之前咱们节目里也介绍过，丘成桐60岁后最大的愿望就是能帮中国培养顶尖数学家，希望中国数学家拿到菲尔兹奖。
而他的梦想体系中还尚未诞生菲尔兹奖获得者的时候，王虹和邓煜已经获奖了。
7月23日，菲尔兹奖获得者中国数学家邓煜（左一）、王虹（右一）
图源：华尔街日报
王虹和合作者Joshua Zahl一起证明了三维挂谷集合猜想。
初代挂谷猜想是1917年日本数学家挂谷宗一提出来的。原始版本挺有意思，就是一位武士上厕所的时候遭到了偷袭。他只有一根长度为1的短棒护身，为了抽出来，需要将短棒旋转180°。但是日本的厕所太小了，所以旋转短棒的时候，应该让这根短棒扫过的面积尽可能小。那么问题是，面积最小可以到多小呢？
最笨的方法就是绕这根棒的中点转半圈，扫过的面积就是π/4≈0.785。
当然，还有稍微聪明一些的办法，就是在一个高为1的正三角形ABC里闪转腾挪。这样操作，虽然摆尾摆头扫过了3个扇形，但这三大部分区域都是高度重合的，所以一共只占用了一个高为1的正三角形的面积。
于是，这次闪转腾挪的面积，按照初中数学一算，三分之根号三，约等于0.577，比之前那个0.785小很多。
当然还有更小的。更小的这个是由挂谷宗一本人提出的最小面积，叫做内摆线，样式很像正三角形，只不过是3条边都向内凹陷的正三角形。
短棒只要沿着内摆线的切线闪转腾挪就能完成180°调头。这个面积求完，是最笨的方法的正好一半，等于π/8≈0.392。
而实际上，其实连0.392也不需要。前苏联数学家贝西科维奇证明了，这个面积是可以无限趋近于零的。
如果用最简单的话描述就是：把一个三角形不断地切成越来越细的长条。然后再把这些长条错位平移，让它们产生大量的重叠，就可以在保留所有方向线段的同时，把面积压到任意小。当切出的长条无限多时，就可以构造出一个面积近乎为零，但却能包含每个方向一条单位线段的集合。
这是一个极其反直觉的结论。数学家把这些线段叫做贝西科维奇集合或者挂谷集合。
几年之后，科学家们也渐渐发现了三维挂谷猜想，也就是那个棒子在三维空间里转180°所需要的最小体积。当然，也一样是无限趋近于零。
02

如何衡量空间维数？

所以现代数学更关心的是什么呢？就是不同维数的挂谷集合的性质。
什么性质？就是挂谷集合的闵可夫斯基维数是多少，豪斯多夫维数又是多少？
王虹跟她的合作者Zahl一起证明了，三维挂谷集合里的闵可夫斯基维数必须是3，豪斯多夫维数也必须是3。这就是他们的成果。
普通人都知道，一个点是0维，一根线是1维，一个面是2维，一个体是3维，这很好理解。但二维平面里可以构造出小于2的分数维数的图案。
比如，我们最熟悉的分形图案：在一条线段上三等分，拿走中间的那份。然后在两个断点处用三等分里其中一份的长度，用两份，两边断点左右各搭一根，搭出一个尖尖出来。而且把这个自相似的规则嵌套在每一级的操作中，凡是碰见线段都这么操作。通过这套规则构造出的图形无限嵌套下去，它就不是二维的，多少维呢？约等于1.262维，它被叫做科赫曲线。
类似的还有谢尔宾斯基三角形，是1.585维的；龙形曲线，是1.523维的；闵可夫斯基香肠曲线，是1.50维的；康托尘埃，是1.262维的。
所以，n维里的一些元素组成的集合还真不一定就是n维。
而之所以关注挂谷集合是多少维，是因为不同的集合在n维空间里，覆盖空间的稠密度是不一样的。最稠密的情况就是，它跟空间本身的维数相等，都是n。但还有很多集合的维数是比空间维数低的。为了研究这些没有铺满空间的集合们谁更稠密、谁更稀疏，那就需要更深入的关注。
好，知道了这个拓展知识点，我们再来解释那个豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数都是什么。
这两个其实就是两种衡量空间维数的办法。
闵可夫斯基维数，类似于用CT去扫描那条鱼，然后从横截面积的变化，给它积分，最后得到整条鱼的体积。
而豪斯多夫维度的测量方法就更加细致了。它相当于是接了满满一缸水，然后把这条鱼放进了鱼缸里。你把溢出来的水收集一下，算一下溢出来的水的重量，核算成体积，这个就是鱼的体积了。所以，豪斯多夫维数衡量，是可以把集合中存在的那些极少数异常复杂的部分给抓出来的。
03

三维猜想，五十年终得证

如果梳理一下三维挂谷集合的证明过程，那就是这样的：
1917年，挂谷宗一提出来了，当年他就给出了那个内摆线形状的解——π/8，认为那就是最小面积。
但也就是刚好那一年，前苏联的贝西科维奇在研究另外一个黎曼积分问题。那个问题和挂谷猜想是同一个问题。贝西科维奇的成果直到1920年才被研究挂谷猜想的数学家们普遍知晓。
也就是说，这个问题从提出后3年，数学家们就知道，这个最小面积是无限趋近于零的。也是从这一年后，数学家开始关心这个面积为零的线段集合的维度是多少。
五十年后的1971年，二维挂谷集合的维数就是2，这个猜想被证明了。
2025年，王虹和Zahl证明了三维挂谷集合的维数就是3。他们的证明步骤是强烈依赖于二维挂谷集合维数证明过程的，属于是踩在了巨人的肩膀上。只是难度要大得多。
那么从这个高难度的问题提出，到结果的证明，经历了50年的时间。三维挂谷问题在数学界虽然还远不能和黎曼猜想、庞加莱猜想相比，但把它说成是三十年一遇的重要问题是不为过的。
判断一个数学证明是不是有地位，今天有一个简单的方法，就是看它在每年的布尔巴基学派年度报告中有没有出现，出现的，那至少都是全球一流成果。2026年布尔巴基学派的报告中，就有一篇综述《王虹-Zahl之后的挂谷猜想》。所以它的证明，不止是中国人关注，也是整个数学领域的明星级成果。
04

什么是希尔伯特第六问题？

邓煜、Zaher Hani与马骁共同解决了希尔伯特第六问题中的一个长期被视为核心的环节。虽然不能说彻底解决了希尔伯特第六问题吧，但说成是“解决了其中一个典型案例”还是没有问题的。
今天媒体报道里都这么形容：它成功架起了从牛顿力学到宏观流体方程之间的数学桥梁，在希尔伯特第六问题的研究上取得了标志性成果。
由于邓煜不像王虹那样为人所知，所以我们先介绍一下邓煜。
他是典型的竞赛生。2006年在深圳上高二的时候，就代表中国参加了奥数，那届他们是金牌，然后被北大录取。大三时去了麻省理工学院（MIT），然后还参加了美国的大学生数学竞赛。2015年在普林斯顿大学获得了博士学位，之后在纽约大学、南加州大学都任过职，现在是芝加哥大学的数学教授。
他和其他竞赛生最大的不同是，大部分竞赛生后来一直停留在“解别人设计好的难题”这一步，而他却找到了自己的方向，并做出了杰出的创造。
什么方向呢？就是一个底层规则完全确定，但结构极端复杂的微观系统，为什么会在大尺度上表现出简单的统计规律——就是这个方向。听起来很抽象。而这个思路，跟他后来解决希尔伯特第六问题的那个环节，其实是一脉相承的。
那是1900年8月，第二届国际数学家大会在巴黎举行，那是一个世纪交替的年份。希尔伯特受邀演讲，他跟闵可夫斯基商量之后决定，不像以前发言的时候总是对过去做总结了，转而提出一批非常重要且有挑战的问题。
希尔伯特在大会发言时只讲了10个问题，后来他又发文章补充了13个，合起来23个，被后世称为希尔伯特23问。
相比较而言，希尔伯特第六问题跟其他22个问题差别很大。第六个问题，是一个甚至覆盖到了物理学，并且可以不断扩展的建议。
第六问题的原始题目叫做《物理学公理的数学处理》。这个问题的核心要求是，用公理的方法，处理那些数学已经发挥了重要作用的物理学科，其中首要的是概率论和力学。
然后希尔伯特把这个问题拆出四条具体的实施路线：第一条是给已经在广泛使用的概率论建立更严格的公理体系；第二条是重新审查力学的数学基础；第三条是从原子世界严格推导连续介质——这条就是邓煜他们的成果所在的领域；第四条是比较不同公理体系是否等价。
如果用一句话去理解第六问题，那就是，把可数学化的那部分物理公理化，这件事可行吗？
所以，严格地说，第六问题是永远也解答不了的。只要物理学还在向前发展，只要物理学引进了新的数学知识，那么把这些知识纳入公理化体系的工作，就又成了第六问题的新挑战了。
而邓煜他们在2024年提交的一系列工作，就是把和流体方程相关的物理背后的数学打通了。
05

为什么从牛顿力学到流体方程这么难？

牛顿力学在物理学中的地位是非常重要的。小到子弹、弹簧，大到汽车、行星，只要知道每个粒子的初始位置、状态和作用力的方式，就能算出粒子在此前和此后，任意时刻所处的位置和速度。
按这个思路，液体也是由无数分子、粒子组成的，所以按理说，只要知道每个粒子的初始条件，也应该能计算液体此前和此后的行为。
但实际上根本行不通。分子数量几千万亿，没有那么多算力。而且算力还是其次的，主要是每一个分子小球的初始位置、初始速度，你是怎么测的呢？压根没法测，所以你连初始条件都没有，那怎么预测或者计算后面的状态呢？
所以，实际上，科学界第一次比较有章法地描述液体流动，要等到1755年了。
欧拉写了一篇流体的论文。这篇论文里，他把液体假设成一种内部没有摩擦，且体积不能压缩的连续流体物质，然后对这个连续的介质应用牛顿定律。这个方程关注某一个小区域里，水往哪儿流，流速是多少，那里的液体压力是多少。
这个公式虽然可以处理一些水流的问题，但问题非常多。比如，紧邻管壁处的流速，现实中其实应该是接近于0的，但在欧拉公式里，却和整体保持一样的速度。还有，物体在水流里肯定是要受到阻力的，但欧拉公式里可以算出零阻力。另外，旋涡形成后，在欧拉公式里就不会停了，会一直旋转下去，但现实中旋涡会自行消失。
为什么这个公式问题这么多呢？因为欧拉之前假设了一小团液体内部没有摩擦，但现实中是有摩擦的。而且所有稍稍复杂一点的流动，大都是因为摩擦机制而产生，比如旋涡、湍流。内部摩擦是流体展现出各种特性特别重要的根源。
于是，大约在欧拉方程出现90年后，斯托克斯、纳维尔、傅里叶他们就把“内部有摩擦”的假设给加了进来，一下子就能让方程回答之前无法解释的问题。
虽然这个修正对于现实来说非常有用，甚至直到今天处理流体，小到汽车的外形设计，大到全球天气变化，还都在用纳维-斯托克斯方程。但这个方程里最核心的改进，也就是液体内部是有摩擦的，或者叫做液体的黏性假设，其实是一种脱离了数学推导的“跳步”。
黏性的假设既不来自质量守恒、动量守恒、能量守恒，也不来自牛顿定律的数学表达的进一步推导。它其实是先根据大量的实验测量，然后依照经验去猜应力与速度梯度成线性关系，再代入欧拉方程之后得到的。
这些猜测当然很好，因为它确实符合现实，可是它没有数学证明，只不过工程里用起来比较好用，所以大家也都一直认。
而希尔伯特第六问题就是要把这些东西公理化，就是说，这部分物理描述，必须都要从几个基本公理推导出来，不能有额外的插入的经验和猜想。
在纳维-斯托克斯方程提出后又过了30年，另外一个描述流体的物理公式出现了，就是玻尔兹曼方程。
玻尔兹曼完全是出于另外一个困惑。就是说一团气体如果是由遵守牛顿定律的分子组成的，那么气体的状态应该和小球一样，可以顺着往后发展，也可以逆着往前倒退。但现实世界里，气体内我们只能看到热从高温到低温，只能看到气体的各项指标往均衡方向发展，也就是后来所说的熵增。
他的办法是在微观分子小球到宏观的密度、流速之间，增加了一个中间层：位置-速度的概率分布描述。
于是在这个体系里，也能从玻尔兹曼方程推导出纳维-斯托克斯方程的黏性那一项了，而此前，这个黏性项完全是从实验结果猜出来的一个经验公式。而玻尔兹曼方程起码承认，一切推导都是从理想的分子小球出发的，也就是牛顿的那套体系出发的，只不过后来在用统计方法做处理。
06

邓煜他们的突破是什么？

到此为止，流体的运动，如果从微观到宏观，那么第一层就是牛顿力学，第二层是玻尔兹曼方程，第三层是纳维-斯托克斯方程。现在，第二层和第三层之间的数学推导已经打通了，但第一层和第二层之间还是空缺的。
玻尔兹曼方程里，有哪些是利用令人惊叹的物理直觉，提前做出的假设，而缺少数学证明的呢？就是在两个粒子A和B即将发生下一次碰撞之前，把它们的入射状态近似看成独立的。
但实际上有可能不是独立的。比如A和B之前碰过，或者它们之前都和第三者C碰过，或者跟一个相同的碰撞网络作用过。所以，在碰撞前，如果知道A的速度，其实对B撞了之后的速度是会多一些了解的，于是这两者在碰撞前应该是并不完全独立的。
而邓煜、Zaher Hani和马骁所做的，就是不再把这种碰撞之前的独立性当作先验的直觉，而是从海量弹性硬球的牛顿运动出发，追踪它们全部的碰撞关系网。
他们发现，普通碰撞会形成不断分叉的“树”；真正破坏独立性的，是旧伙伴之间反复相遇，或者两条碰撞网络接成的“环”。
他们又证明，当小球越来越小、数量越来越多，同时气体保持稀薄时，这些环虽然种类极多，却必须满足非常苛刻的条件，全部加起来的影响仍趋近于零。因此，任意取少数粒子，它们在下一次碰撞前的联合状态，确实极为接近彼此完全独立。
于是，玻尔兹曼当年从实验和天才直觉假设出的“碰撞前，两者是独立的”，在邓煜这里给予了数学证明。
这项工作的意义，不只是补上了一段缺失的推导。它让人们更清楚地看见：宏观世界中看似连续、有序的气体和流体规律，究竟怎样从无数微观粒子的随机碰撞中产生。希尔伯特一百多年前提出的那个愿望——把物理规律建立在严格的数学基础上——也因此向前推进了一大步。
从牛顿力学到玻尔兹曼方程，再到我们熟悉的宏观流体世界，这座跨越不同尺度的桥梁，终于被接上了关键的一段。

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